初中几何入门的教学 “上好课”专题培训征文

安庆市第四中学  周家敏

几何学是相对独立的一门学科，具有形象性和逻辑性双重特点。《数学教学大纲》指出：“初中几何将逻辑化与直观性相结合,通过各种图形的概念、性质、作(画)图及运算等方面的教学,发展学生的逻辑思维能力、空间相像和运算能力。”由于平面几何是初一第二学期一门新开设的课程,加上它特有的抽象性、逻辑性和严密性,极易使学生产生畏难情绪。不同的学生在几何学习中表现出的能力是不同的，初二几何证明的开设，从某一方面来说成了学生成绩起伏的一个分水岭。作为教师应从知识结构和学习心理过程把握学生的学习进程，从以下几个方面将学生步步引入几何学习的殿堂，让学生感受到的不是负担，而是峰回路转，柳暗花明的新奇与探索的乐趣。

一、把握和理解基本概念

在平面几何教学中,一开始就出现大量的基本概念，若教学不得法,学生难以掌握,势必加大教学难度。为了使学生切实掌握平面几何概念,在教学中,应着重抓好以下几个环节:

1、掌握基本图形，搭建几何框架

首先学生应理解“线”是由“点”的集合构成的，而“面”是由“线”的集合构成的，线有直线和曲线。在第一节课中，引导学生观察教室里上下、左右、前后六个面，面与面交成线，线与线交成点；打开门，当把门看成面时，门绕着轴旋转，面与面的相交状态发生了变化，还可以拿出实物柱、锥等，观察几何体分别是由哪些面组成的，从而把握构成几何图形的最基本的元素。几何概念抽象难懂,教学中应结合实例引入,学生易于接受。

例如：下图中的圆台是由哪个图旋转

而成的：

 

 

联系生活中原有的知识,激发学生思维,提高他们的学习兴趣。

例1:已知线段AB=6cm，在直线AB上画线段BC，使它等于2cm，求线段AC的长。

这个问题是属于两解的情况，学生容易忽视，读懂题意作出图形可以分辨清楚，加强对基本概念的理解。

余角和补角是几何证明中常用的角，利用各种图形识别互余或互补的角。

例2:如图所示,∠AOE=∠BOE=∠COD=90°,则图中互余的角(  )对

A .1对     B.2对        C.3对      D.4对 

以上问题虽然简单，从不同角度的描述，增加等量的代换，对初学平面几何的学生来讲确实可以在提高观察能力的同时，培养学生对图形的分析能力。更能加深学生对图形的理解及几何语言的掌握。

2、特殊线段是几何证明的关键

三角形中的三条高、三条角平分成，三条中线是常用的线段，若能及时地识别和运用，将会打开证明的思路。学生在刚接触时，概念较模糊，往往在单个的线段中会做高、中线，在简单的角中会做角平分线，一旦放到三角形或较复杂的几何图形中时，就辨不清方向了。因此开始接触时应带着学生画图，识别要点和关键点所在，抓住不同角度产生的不同效果，有利于学生从不同方向把握其特征。

例3:判断下列各图中AD是不是△ABC中BC边上的高？如果不是，请你画出△ABC中BC边上的高。

以钝角三角形为例，增强学生的方向感。形成基本的作图能力。

3、基本定理是几何证明的有效工具

先要对课本中的公理、定理、定义推论要有一个深刻中认识和理解，就是要弄明白这些命题究竟表达的是什么意思，弄清题设和结论。只要做好这一步，我们才可以灵活地应用定理。如：“同位角相等两直线平行”是公理，是通过数学实验得到的一个正确的命题，而“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补两直线平行”是定理，它们是由前者公理经推理证明而得到的。其次，要把课本中的定理牢记在心中，不是把定理的语言文字死记硬背，而是要把它的意思牢记在心中，这一过程需要多练题反复的巩固记忆，在运用中体会定理本质。

例4:如图，在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，延长BC到点D，使CD=BC.连接AD，则△ACD≌△ACB。

∴AD=BC，∠BAC=∠DAC=30°，∠BAD=60°。

由推论2，得△ABD是等边三角形，∴BD=AB

BC= ，于是有：

定理  在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么其对应的直角边是斜边的一半。

A

C

B

定理应用：已知，如图，△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边上的高，∠A=30°.求证：BD= 1/4AB

 

  

在此过程中不仅复习了旧知识，而且对定理本身的来龙去脉也理解透彻。

二、注重学生作图、识图能力的培养

作图、识图是学习几何的基本功，对于几何学习，其知识的掌握程度常常取决于我们对图形的认识和掌握程度，图形绘制的正误优劣往往关系到问题解决的成败，因此教师在几何教学的初级阶段帮助学生识图，是提高学生能力的关键。但若忽略了这一步，就会给后面复杂图形的识别带来困难，不知从哪里下手了。

三、关注图形变化中产生的性质

如两三角形全等判定

 

            

通过尺规作图，我们可以认识两三角形全等所必备的基本条件。

 

   又如：在图中，两直线a、b被第三直线c所截，不论直线a如何绕o点绕转，∠1与∠2永远是同位角，而当∠1与∠2相等时，a∥b

由此得到：同位角相等两直线平行

例5:如图，点O是线段 AD 的中点，分别以 AO,DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC, 不难求得∠AEB=60°

(1)若点O不是DO的中点,如图(2),其余条件不变,则∠AEB的大

小是否改变?若不变,请说明理由;若改变,请求出∠AEB的大小.

(2)若△OAB和△OCD为等腰三角形,如图(3),且OA=OB,OC=OD,

∠AOB=∠COD=α,连接AC和BD,相交于点E,连接BC,探索∠AEB与α的大小关系,并说明理由.

A

O

E

F

B

C

D

 

这几个例子中体现了几何图形的生成过程，有利于学生顺腾摸瓜，理解在图形的变化中由条件到结论有一种必然联系。

四、学会看图说话

任何一门学科都有自己特有的语言。几何语言是学生理解和表述概念、叙述作图步骤和进行推理论证所必不可少的工具。语言教学首先要提高学生几何语言的准确性，这方面要结合图形引导学生理解几何语言准确的重要性。要跨入平面几何的大门，首先要过好“语言关”。为此，在讲课时，要努力做到语言规范化，书写规范化，要求学生作业也要规范化。它讲究的是逻辑推理的严密性和语言的简洁性，要求言必有理，证必有据。要注意纠正出现的各类错误。讲概念时，将文字语言和符号语言结合起来讲，还可选编一些语言训练题，把一些范句言结合起来讲，还可选编一些语言训练题，把一些范句摘录下来要求学生记住。如：“延长______到______点，使______＝______”；“过______　______，垂足为______”；“在______　______＝______”；“过______　______∥______”等等。

例6:如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F,且BE=AC,DE=DC,你能说明BE与AC垂直吗？

分析：只要说明∠BFA=90°,即只要说明∠1+∠2=90°即可.

又∠1+∠4=90°，∠2=∠3，所以只要说明∠3=∠4即可。

应考虑△BED≌△ACD

解：因为AD是△ABC的高，

所以∠BDE=90°, ∠ADC=90°

在RT△BED和RT△ACD中

因为BE=AC,DE=DC，

所以RT△BED≌RT△ACD(HL)

所以∠3=∠4，

因为∠1+∠4=90°，∠2=∠3

所以∠1+∠2=90°

所以∠BFA=90°，即BE⊥AC

①教师分析

②学生看图说出推理过程

③再给出时间给学生独立完成书写过程，这是个思路整理的过程，命名得思维更加规范化、条理化。

培养学生有条有理，有根有据地进行思考，而且能够比较完整地叙述思考过程，在几何入门教学中很重要。首先语言要科学，数学语言是极其严密的，非常精炼的，有严格的界定和明确的含义，在训练学生讲解的过程中，特别要重视语言的准确、严密，引导学生用科学的语言进行叙述。其次语言要有逻辑性，数学以严密的逻辑结构作为学科的骨架，违背了逻辑就违背了数学真缔。因此，要训练学生讲解的语言符合客观规律，也就是说，讲话要有根有据，有因有果。最后语言的有序性。语言的有序性指讲话要有条理。先讲什么，后讲什么，要有次序。对于几何，先证什么，后证什么，推理要步步有据，论证过程要简明合理。语言上的有序性和思想上的有序性是一致的。学生讲解上的有条有理也必然反映他思维上的条理性。培养学生语言的有序性，有利于学生思维能力的发展。

五、关注知识的迁移和联系

学好平面几何，学生不仅要有严密的逻辑思维能力，还要学生有较强的发散思维能力，观察能力、计算能力，而且贯穿着许多重要的数学思想方法。

1、一题多解，理解命题本质

例7：三角形内角和的证明。

证法1、过点A作AD∥BC，如图1所示

因为AD∥BC,所以∠1=∠C,∠DAB+∠B=180°

所以∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°

证法2、如图2，过点A作DE∥BC，

则∠1=∠B, ∠2=∠C

因为∠1+∠BAC+∠2=180°

所以∠BAC+∠B+∠C=180°

证法3、如图3、在BC边上任取一点D，过D点作DE∥AB

交AC于点E，作DF∥AC交AB于点F

因为DE∥AB

所以∠1=∠B, ∠2=∠4

DF∥AC

所以∠A=∠4, ∠3=∠C

所以 ∠2=∠A

又因为∠1+∠2+∠3=180°

所以∠A+∠B+∠C=180°

证法4、如图4、过A点在三角形内部任作射线AD，再做

BE∥AD,CF∥AD

因为BE∥AD∥CF

∠1=∠3, ∠2=∠4,∠EBC+∠BCF=180°

所以∠BAC+∠BCA+∠ABC=∠EBC+∠BCF=180°

证明三角形内角和定理是很简单的，通过多角度的辨析思考拓宽了学生的思路。

2、错题改正，纠正自我偏差

例8：下面证明是否正确？若不正确请改正。

求证：三角形的内角和等于180°

已知：在△ABC中，∠ABC、∠ACB、∠BAC内其内角

求证：∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°

证明：如图，过点E作直线DE，使∠ABC=∠BCD，∠BAC=∠ACB。

因为∠ACB+∠ACE+∠BCD（平角定义）

所以：∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°（等量代换）

过点E作直线DE，使∠ABC=∠BCD，∠BAC=∠ACB，是不可能同时产生的。

3、由简单到复杂，拓宽思维方向

解决证明问题一般有三种思维模式，在这里我不妨叫它三步思维模式：

①从结论出发寻求证明依据（依据一般定理、公理、推论)

②从条件出发得出某些相关结论，建立结论与条件的联系，寻找所需要信息。

③条件不足，创造条件，达到目的（创造条件一般就是作辅助

线，构造特殊图形）

上述三点是我们解决几何问题的基本模式，牢固掌握好这三种思维模式是我们学好几何的根本出发点。

例9、先阅读材料：再类比探求

如图1所示，△ABC是等边三角形在AB的延长线上取一点D，以CD为边作一个等边三角形△CDE，连接AE，求∠CAE的大小。

解：因为△ABC，△CDE都是等边三角形

所以BC=AC,DC=EC,∠BCA=∠DCE=60°

所以∠ECA=∠DCB.

所以△ECA≌△DCB

所以∠CEA=∠CDB

即∠CEA+∠ECA=∠CDB+∠DCB=∠ABC=60°

所以∠EAC=180°-(∠CEA+∠ECA)= 120°

类比探求：

(1)若D为AB边上的一点，其他条件不变，如图2，

求∠CAE的大小

(2)若△ABC,△CDE都是等腰三角形，BC=AC,DC=EC.

∠BCA=∠DCE=90°,如图3，求∠CAE的大小

 

图形是平面几何中思维藉以展开的依据。所以对平面几何问题的分析，首先是对图形的分析，而对图形的分析，又首先基于对图形的深刻观察。在此例题中注意培养学生善于发现图形的规律，并利用图形的规律解决问题的能力。

几何教学是培养学生空间观念、想象能力和逻辑证明的重要载体。平面几何的入门教学是个难题，是初中数学教学中一个亟需解决的重要课题。平面几何入门教学中分化现象已引起很多数学教师的关注，把好入门关，用足课时，精心设计，充分运用语言直观、模型直观和图形直观，最大限度地调动学生的积极性和主动性，为后续学习奠定基础。　实践证明，平面几何的入门学习是艰难的，但学生一旦入了门，适应了平面几何思考问题的方法，他们的学习兴趣就会越来越高涨，学生成绩也就会越来越好。