构建二维框架突破实际问题的分析难点 初中数学获奖论文

内容摘要：实际问题的教学一直是初中数学教学中的一个难点, 对于我们农村初中的学生来说更是一大难题。实际问题的难点，就在于如何分析题意、有效提取题干的有用信息上，我们通过构建二维框架突破这个难点。二维框架指的是基本的等量关系为一维，题中所指的事件为另一维，以这二维构造框架分析题意。让学生学会如何分析题意，提升学生的综合能力。关键词：实际问题   构建框架   分析能力

数学新课标要求学生具有较高的数学素养、数学意识和较强的数学应用能力。实际应用问题的教学可较好的培养学生上述能力，但在农村初中，由于学生数学基础普遍较差、信息的提取能力不足等原因，导致在实际教学中困难重重，具体表现在：由于题中的信息量过多，而无法从中提取有用的条件；由于题中所涉及的数量关系较多，而不能准确的找出合适的等量关系；由于题中一些名词术语，而导致理解错误等等。如何帮助学生解决这些困惑，重新找回自信，提升学生的解题能力？这是我们一直在探讨的内容。
实际问题的难点，就在于如何分析题意、有效提取题干的有用信息上，我们可以构建二维框架突破这个难点。二维框架指的是基本的等量关系为一维，题中所指的事件为另一维，以这二维构造框架，抽丝剥茧式的让题中每个量明朗化，进一步找出列等式所需的等量关系。二维框架如下图：

下面根据自身的一些教学经验，谈谈具体的做法。

一、轻松构建框架，帮助学生摆脱畏难情绪。
在大部分实际问题的教学中，都提倡让学生分析题意，先准确找出题中所需的等量关系。
如：行程问题：相遇问题，追及问题（包括同地不同时，同时不同地），环行问题（包括背向而行，同向而行），航行问题（航海：顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速；航空：顺风速度=静风速度+风速，逆风速度=静风速度-风速），稍微复杂一点的问题有两事件时间相等、路程相等、速度不变。然后对于每个种类的问题分别向学生讲清他的数量关系和等量关系，让学生在自己解题时首先分析这道题属于哪种题型，然后套用这种题型的等量关系来解题。这样教学，一度被认为是把复杂的问题简单化。可这样的教学太机械化，学生根本就没有真正懂得为什么要用这个等量关系，只是机械性的来套用这些模式而已，如果遇到复杂一点的实际应用问题，学生就无从入手，搞不清是该利用哪个等量关系来分析。这样反而会让他们对实际问题越来越恐惧。其实，行程问题的最基本的等量关系就是：路程 ＝ 速度（匀速） × 时间。学生只要牢牢抓住这一点，利用二维框架，学会自己分析，他们就会自己找到解决实际问题所需的等量关系。
我们可以充分利用学生的生活经验，利用学生所熟知的的等量关系轻松构建框架，从而消除学生对实际问题的恐惧，这样才能让学生有信心去分析实际问题，才能把实际问题简单化。下面就针对一些实际问题的教学进行举例说明：
例1：（人教七上P104探究题）销售中的盈亏：某商店以60元的同样价格卖了两件衣服,其中甲件盈利25%，乙件亏损25%.商家在这次买卖是盈了或是亏了,还是不盈不亏?
分析：基本等量关系：利润＝销售价—成本（这每个同学应该根据实际经验就能得到。）
题中所指事件：事件一甲衣服，事件二乙衣服。考虑两件衣服的进价未知，可分别设两件衣服的进价，即建立下面的分析框架。

通过这个框架，学生就会很容易的列出两个方程，并且解出两件衣服的进价，那么题中的问题，盈了或是亏了？学生就能利用两件的销售价之和减去进价之和来解决这个问题了。
    例2：（人教八下P30例4）从2004年5月起某列车平均提速v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少?
分析：基本等量关系：路程 ＝ 速度×时间，
所指事件：事件一提速前，事件二提速后。可列下面的分析框架。

通过此框架，利用提速前后时间相同，时间= 路程÷速度，就可列出相应的分式方程。
例3：（人教九下P23探究题）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：基本等量关系：利润 ＝ （单件销售价 —单件成本）×件数，
所指事件：事件一涨价时，事件二降价时。可列下面的分析框架。

通过此框架，再令涨价后的利润为y1，降价后的利润为y2。即可列出相应的二次函数解析式，求出最值相比较后，就能确定如何定价才能使利润最大。
从上面三个例题的分析中，可以看出避免了直接找等量关系来列等式的困难，而是采用三步策略：①构建二维框架；②让题中已知量按号入座；③抓住关键点，这样就容易找到相应关系来列等式。比如例2，我们可根据路程 ＝ 速度 × 时间（指的是匀速）这一不变的关系，然后把题中已知量按号入座，再抓住提速前后用相同的时间来列等式，这样学生就比较容易掌握。依此类推，所有的实际问题都可以利用类似的框架来分析题意、解决问题。

二、加强变式练习，提高学生思维的敏捷性。
在找到实际问题突破口的同时，还需加强变式练习，提高学生思维的敏捷性。在教学中，有的教师把实际问题进行分类，为的是帮助学生理清思路，但容易造成问题的孤立。而实际上很多不同类型的实际问题在形式上都是差不多的。比如，路程＝速度×时间，销售价＝单价×件数等等，只要是乘积形式的，都可以相互转化。我们在教学时，可以采取下列做法，给学生展示不同类型的实际问题，而列出的等式却是同一个；或者向学生提出解答一个问题后，根据同一方程，再编出其他不同类型的实际问题。
例4：（人教七上P108第8题）京沪高速公路全长1262千米，一辆汽车从北京出发，匀速行使5小时后，提速20千米/时，又匀速行使5小时后，减速10千米/时，又匀速行使5小时后，到达上海，问求各段时间的车速（精确到1千米/时）。
分析：基本等量关系：路程 ＝ 速度×时间，
所指事件：事件一第一段路程，事件二第二段路程，事件三第三段路程。
可列下面的分析框架。

通过此框架，学生就清楚，再利用总路程 ＝ 各段路程之和来列等式。
变式1：销售问题：由于市场竞争激烈，某房地产公司决定，房子售出5套后，提价20万元，又售出5套后，由于竞争激烈，降价10万元，又售出5套后，公司的总销售额为1262万元，问房子的原价为多少万元？
变式2：产量问题：某村有三户农户种植花生，甲、乙、丙各种植5亩花生，乙比甲产量每亩多20千克，丙比乙产量每亩少10千克，三户花生的总产量有1262千克，问每户农户花生的亩产量是多少千克/亩？
例4的三种类型，似乎是无关的三种类型，可是仔细推敲一下，又会发现三者是属于同一类型的题目。通过此类变式练习，促进学生认知网络的形成，使学生能够触类旁通，轻松高效的的掌握解题技巧，最终使学生有所启迪，思维更加活跃、灵活。

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